<div dir="auto">Where do you get<div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><div dir="auto">() -> Maybe (X^Y) ~</div><div dir="auto">OneOrBoth () Y -> Maybe X</div></div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Sat, Jan 9, 2021, 4:26 PM MigMit <<a href="mailto:migmit@gmail.com">migmit@gmail.com</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">Actually, it's pretty easy to construct a type `P x y`, so that Maybe (P x y) ~ (Maybe x, Maybe y). It would be<br>
<br>
data OneOrBoth x y = Left' x | Right' y | Both x y<br>
<br>
The isomorphism is, I think, obvious<br>
<br>
iso1 :: Maybe (OneOrBoth x y) -> (Maybe x, Maybe y)<br>
iso1 Nothing = (Nothing, Nothing)<br>
iso1 (Just (Left' x)) = (Just x, Nothing)<br>
iso1 (Just (Right' y)) = (Nothing, Just y)<br>
iso1 (Just (Both x y)) = (Just x, Just y)<br>
<br>
iso2 :: (Maybe x, Maybe y) -> Maybe (OneOrBoth x y)<br>
iso2 = -- left as an excersize for the reader<br>
<br>
And indeed, "OneOrBoth" would be a cartesian product functor in the category of finite types (and maps).<br>
<br>
But it won't be cartesian closed. If it were, then for any finite X and Y we should have<br>
<br>
Maybe (X^Y) ~<br>
() -> Maybe (X^Y) ~<br>
OneOrBoth () Y -> Maybe X ~<br>
(() -> Maybe X, Y -> Maybe X, ((), Y) -> Maybe X) ~<br>
(Maybe X, Y -> Maybe X, Y -> Maybe X)<br>
<br>
so<br>
<br>
X^Y ~ (X, Y -> Maybe X, Y -> Maybe X)<br>
<br>
But then<br>
<br>
Z -> Maybe (X^Y) ~<br>
Z -> (Maybe X, Y -> Maybe X, Y -> Maybe X) ~<br>
(Z -> Maybe X, (Z, Y) -> Maybe X, (Z, Y) -> Maybe X) ~<br>
<br>
and<br>
<br>
OneOrBoth Z Y -> Maybe X ~<br>
(Z -> Maybe X, Y -> Maybe X, (Z, Y) -> Maybe X)<br>
<br>
We see that those aren't the same, they have a different number of elements, so, no luck.<br>
<br>
> On 9 Jan 2021, at 22:01, Olaf Klinke <<a href="mailto:olf@aatal-apotheke.de" target="_blank" rel="noreferrer">olf@aatal-apotheke.de</a>> wrote:<br>
> <br>
>> Hello!<br>
>> <br>
>> Finite maps from `"containers" Data.Map` look like they may form a<br>
>> Cartesian closed category. So it makes sense to ask if the rule _α ⇸<br>
>> (β ⇸ γ) ≡ ⟨α; β⟩ ⇸ γ ≡ ⟨β; α⟩ ⇸ γ ≡ β ⇸ (α ⇸ γ)_ that holds in such<br>
>> categories does hold for finite maps. Note that, a map being a<br>
>> functor, this also may be seen as _f (g α) ≡ g (f α)_, which would<br>
>> work if maps were `Distributive` [1].<br>
>> <br>
>> It looks to me as though the following definition might work:<br>
>> <br>
>>    distribute = unionsWith union . mapWithKey (fmap . singleton)<br>
>> <br>
>> — And it works on simple examples. _(I checked the law `distribute ∘<br>
>> distribute ≡ id` — it appears to be the only law required.)_<br>
>> <br>
>> Is this definition correct? Is it already known and defined<br>
>> elsewhere?<br>
>> <br>
>> [1]: <br>
>> <a href="https://hackage.haskell.org/package/distributive-0.6.2.1/docs/Data-Distributive.html#t:Distributive" rel="noreferrer noreferrer" target="_blank">https://hackage.haskell.org/package/distributive-0.6.2.1/docs/Data-Distributive.html#t:Distributive</a><br>
> <br>
> Hi Ignat, <br>
> <br>
> TL;DR: No and no.<br>
> <br>
> The documentation says that every distributive functor is of the form<br>
> (->) x for some x, and (Map a) is not like this. <br>
> <br>
> If Maps were a category, what is the identity morphism?<br>
> <br>
> Let's put the Ord constraint on the keys aside, Tom Smeding has already<br>
> commented on that. Next, a Map is always finite, hence let's pretend<br>
> that we are working inside the category of finite types and functions.<br>
> Then the problems of missing identity and missing Ord go away. Once<br>
> that all types are finite, we can assume an enumerator. That is, each<br>
> type x has an operation<br>
> enumerate :: [x]<br>
> which we will use to construct the inverse of <br>
> flip Map.lookup :: Map a b -> a -> Maybe b<br>
> thereby showing that a Map is nothing but a memoized version of a<br>
> Kleisli map (a -> Maybe b). Convince yourself that Map concatenation<br>
> has the same semantics as Kleisli composition (<=<). Given a Kleisli<br>
> map k between finite types, we build a Map as follows.<br>
> \k -> Map.fromList (enumerate >>= (\a -> maybe [] (pure.(,) a) (k a)))<br>
> <br>
> With that knowledge, we can answer your question by deciding: Is the<br>
> Kleisli category of the Maybe monad on finite types Cartesian closed?<br>
> Short answer: It is not even Cartesian. <br>
> There is an adjunction between the categories (->) and (Kleisli m) for<br>
> every monad m, where<br>
> * The left adjoint functor takes <br>
>   types x to x,<br>
>   functions f to return.f<br>
> * The right adjoint functor takes <br>
>   types x to m x,<br>
>   Kleisli maps f to (=<<) f<br>
> Right adjoint functors preserve all existing limits, which includes<br>
> products. Therefore, if (Kleisli m) has binary products, then m must<br>
> preserve them. So if P x y was the product of x and y in Kleisli m,<br>
> then m (P x y) would be isomorphic to (m x,m y). This seems not to hold<br>
> for m = Maybe: I can not imagine a type constructor P where<br>
> Maybe (P x y) ~ (Maybe x,Maybe y).<br>
> In particular, P can not be (,). The only sensible Kleisli projections<br>
> from (x,y) would be fst' = return.fst and snd' = return.snd. Now think<br>
> of two Kleisli maps f :: Bool -> Maybe x, g :: Bool -> Maybe y. Assume<br>
> that f True = Just x for some x and g True = Nothing. In order to<br>
> satisfy g True = (snd' <=< (f&&&g))True, the unique pair arrow (f&&&g)<br>
> would need to map True to Nothing, but then f True = (fst' <=< (f&&&g))<br>
> True can not hold. We conclude that (Kleisli Maybe) does not even have<br>
> categorical products, so asking for Cartesian closure does not make<br>
> sense. <br>
> <br>
> You might ask for a weaker property: For every type x, ((,) x) is a<br>
> functor on (Kleisli Maybe). Indeed, the following works because ((,) x)<br>
> is a polynomial functor. <br>
> fmapKleisli :: Functor m => (a -> m b) -> (x,a) -> m (x,b)<br>
> fmapKleisli f (x,a) = fmap ((,) x) (f a)<br>
> Thus you may ask whether this functor has a right adjoint in the<br>
> Kleisli category of Maybe. This would be a type constructor g with a<br>
> natural isomorphism <br>
> <br>
> (x,a) -> Maybe b   ~   a -> Maybe (g b).<br>
> <br>
> The first thing that comes to mind is to try<br>
> g b = x -> Maybe b and indeed djinn can provide two functions going<br>
> back and forth that have the right type, but they do not establish an<br>
> isomorphism. I doubt there is such a right adjoint g, but can not prove<br>
> it at the moment. The idea is that a function (x,a) -> Maybe b may<br>
> decide for Nothing depending on both x and a, and therefore the image<br>
> function under the isomorphism must map every a to Just (g b) and delay<br>
> the Nothing-decision to the g b. But for the reverse isomorphism you<br>
> can have functions that do not always return Just (g b) and there is no<br>
> preimage for these. <br>
> <br>
> Regards,<br>
> Olaf<br>
> <br>
> <br>
> <br>
> _______________________________________________<br>
> Haskell-Cafe mailing list<br>
> To (un)subscribe, modify options or view archives go to:<br>
> <a href="http://mail.haskell.org/cgi-bin/mailman/listinfo/haskell-cafe" rel="noreferrer noreferrer" target="_blank">http://mail.haskell.org/cgi-bin/mailman/listinfo/haskell-cafe</a><br>
> Only members subscribed via the mailman list are allowed to post.<br>
<br>
_______________________________________________<br>
Haskell-Cafe mailing list<br>
To (un)subscribe, modify options or view archives go to:<br>
<a href="http://mail.haskell.org/cgi-bin/mailman/listinfo/haskell-cafe" rel="noreferrer noreferrer" target="_blank">http://mail.haskell.org/cgi-bin/mailman/listinfo/haskell-cafe</a><br>
Only members subscribed via the mailman list are allowed to post.</blockquote></div>